Question

已知椭圆=1的左、右焦点分别为F₁、F₂,过F₁的直线交椭圆于B、D两点,过F₂的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P.

(1)设P点的坐标为(x₀,y₀),证明＜1;

(2)求四边形ABCD的面积的最小值.

(文)设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a₁=b₁=1,a₃+b₅=21,a₅+b₃=13.

(1)求{a_n}、{b_n}的通项公式;

(2)求数列{}的前n项和S_n.

Answer 1

答案： (1)证明:椭圆的半焦距c==1.

由AC⊥BD知点P在以线段F₁F₂为直径的圆上,

故x₀²+y₀²=1,所以≤=＜1.

(2)解：①当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程=1,

并化简,得(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0.设B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),则x₁+x₂=,x₁x₂=,

|BD|=·|x₁-x₂|=;

因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|=.四边形ABCD的面积为S=·|BD|·|AC|=,

当k²=1时,上式取等号.

②当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.

(文)解：(1)设{a_n}的公差为d,{b_n}的公比为q,则依题意有q＞0且

解得d=2,q=2.所以a_n=1+(n-1)d=2n-1,b_n=q^n-1=2^n-1.

(2)=.

S_n=1+,                 ①

2S_n=2+3++…+.                     ②

②-①,得S_n=2+2+=2+2×(1++)

=2+2×.