Question

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y²-8．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点，且OC⊥OD（O为原点），求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积即可得出；
（2）把直线方程与抛物线方程联立利用根与系数的关系、

OC

⊥

OD

?

OC

•

OD

=0即可得出．

解答：解：（1）∵动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化为x²=2y．
∴动点P的轨迹方程为x²=2y；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．联立

y=x+b x2=2y

，
化为x²-2x-2b=0，∴△=4+8b＞0．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b．（*）
∵

OC

⊥

OD

，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
化为2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
把（*）代入上式得-4b+2b+b²=0，解得b=0或2．满足△＞0．
∴b=0或2．

点评：熟练掌握数量积运算、直线与抛物线相交问题转化为把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系、

OC

⊥

OD

?

OC

•

OD

=0是解题的关键．