Question

（2008•广州二模）（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：

AN

•

BM

为定值b²-a²．
（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，则

AN

•

BM

为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过程）．

Answer 1

分析：（1）设点P（x₀，y₀），x₀≠±a，依题意，得A（-a，0），B（a，0），从而得直线PA的方程，继而求得点M，N的纵坐标，得到y_My_N=

a2y02

a2-x02

，把点P（x₀，y₀），代入椭圆方程可求得y_My_N=

a2y02

a2-x02

=b²，从而得

AN

•

BM

=b²-a²．
（2）类比（1）的结论，可得

AN

•

BM

的值．

解答：（1）证明：设点P（x₀，y₀），x₀≠±a，
依题意，得A（-a，0），B（a，0），
∴直线PA的方程为y=

y0

x0+a

（x+a）…（2分）
令x=0，得y_M=

ay0

x0+a

…（4分）
同理得y_N=

-ay0

x0-a

…（6分）
∴y_My_N=

a2y02

a2-x02

，
∵点P（x₀，y₀）是椭圆C上一点，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，y02=

b2

a2

（a²-x02），
∴y_My_N=

a2y02

a2-x02

=b²，…（8分）

AN

=（a，y_N），

BM

=（-a，y_M），
∴

AN

•

BM

=-a²+y_My_N=b²-a²…（10分）
（2）-（a²+b²）…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线、合情推理等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．