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函数 $数学公式$ 在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是________．

a∈（- $\text{[math]}$ ，+∞）
分析：先将函数 $\text{[math]}$ 在（1，2）上存在单调递增区间的问题转化为其导函数f′（x）＞0在（1，2）上能成立问题，再将导函数的分子看做新函数g（x），通过导数讨论其图象性质即可得g（x）＞0在（1，2）上能成立时a的范围
解答： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x＞0）
设g（x）=2x³+ax+1，则g′（x）=6x²+a
若a≥-6，则因为6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上为增函数
若-24＜a＜-6，则由g′（x）=0，得x=± $\text{[math]}$ 且2＞ $\text{[math]}$ ＞1
∴g（x）在（1， $\text{[math]}$ ）上是减函数，在（ $\text{[math]}$ ，2）上为增函数
要使函数 $\text{[math]}$ 在（1，2）上存在单调递增区间
只需g（x）＞0在（1，2）上能成立
只需g（1）=3+a＞0，或g（2）=17+2a＞0
即a＞- $\text{[math]}$ ，此时- $\text{[math]}$ ＜a＜-6
若a≤-24，则因为24＞6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＜0，从而f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上为减函数，不合题意
综上所述，函数 $\text{[math]}$ 在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是a∈（- $\text{[math]}$ ，+∞）
故答案为a∈（- $\text{[math]}$ ，+∞）
点评：本题考查了导数运算和导数在函数单调性中的应用，不等式能成立问题的解法，分类讨论的思想方法和转化化归的思想方法，确定讨论标准并不重不漏是解决本题的关键

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