Question

证明以下结论：
（1）若x＞y＞0，则（x²-y²）（x+y）＞（x²+y²）（x-y）；
（2）若a＞0，b＞0，a≠b，则a^ab^b＞(ab)

a+b

2

．

Answer 1

分析：（1）对所证的不等式作差后化积，再分析乘积的符号，从而可证得结论；
（2）利用分析法，在a＞0，b＞0，a≠b时，要证a^ab^b＞(ab)

a+b

2

，需证(

a

b

)

a-b

2

＞1；通过对a，b的大小关系的讨论，利用指数函数的性质即可使原结论得证．

解答：证明：（1）∵（x²-y²）（x+y）-（x²+y²）（x-y）=（x-y）[（x+y）²-（x²+y²）]=（x-y）×2xy；
又x＞y＞0，
∴x-y＞0，xy＞0，
∴（x-y）×2xy＞0，
∴（x²-y²）（x+y）＞（x²+y²）（x-y）；
（2）要证a^ab^b＞(ab)

a+b

2

，
需证aa-

a+b

2

•bb-

a+b

2

=a

a-b

2

•b

b-a

2

=(

a

b

)

a-b

2

＞1；
∵a＞0，b＞0，a≠b，
∴当a＞b＞0时，

a

b

＞1，

a-b

2

＞0，由指数函数y=a^x（a＞1）的性质可知，(

a

b

)

a-b

2

＞1；
当b＞a＞0时，0＜

a

b

＜1，

a-b

2

＜0，由指数函数y=a^x（0＜a＜1）的性质可知，(

a

b

)

a-b

2

＞1；
综上所述，当a＞0，b＞0，a≠b时，(

a

b

)

a-b

2

＞1成立；
故原结论成立，即a＞0，b＞0，a≠b，则a^ab^b＞(ab)

a+b

2

．

点评：本题考查综合法与分析法，着重考查转化思想推理分析、证明的能力，考查指数函数的性质，属于难题．