Question

n²（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数由左至右成等差数列，每一列的数由上至下成等比数列，并且所有公比相等，已知a₂₄=1，a42=

1

8

，a43=

3

16

，试求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：设出a₁₁，第一行数的公差，第一列数的公比；求出表中通项a_st，据通项将a₂₄，a₄₂，a₄₃用首项，公差、公比
表示，列出方程组求出首项、公差、公比；求出a_kk，据a_kk的特点，利用错位相减法求出数列的和．

解答：解：设a₁₁=a，第一行数的公差为d，第一列数的公比为q，可得a_st=[a+（t-1）d]q^s-1
又设第一行数列公差为d，各列数列的公比为q，则第四行数列公差是dq³，
于是可得

a24=(a11+3d)q=1 a42=(a11+d)q3= 1 8 a43=a42+dq3= 3 16

（3分）
解此方程组，得a11=d=q=±

1

2

，由于给n²个数都是正数，必有q＞0，从而有a11=d=q=

1

2

，..（4分）
于是对任意的1≤k≤n，有akk=a1kqk-1=[a11+(k-1)d]qk-1=

k

2k

．（6分）
得S=

1

2

+

2

22

+

3

23

++

n

2n

，．（8分）
又

1

2

S=

1

22

+

2

23

+

3

24

++

n

2n+1

..（10分）
两式相减后得：

1

2

S=

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

-

n

2n+1

．（12分）
所以S=2-

1

2n-1

-

n

2n

．（13分）

点评：求数列的前n项和，先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法．