Question

如图，在平行四边形中，，，为线段的中线，将△沿直线翻折成△，使平面⊥平面，为线段的中点.

（１）求证：∥平面；

（２）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知

FG∥CD，FG=CD.

BE∥CD,BE=CD.

所以FG∥BE,FG=BE.

故四边形BEGF为平行四边形,

所以BF∥EG

因为平面，BF平面

所以 BF//平面

（2）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a

则AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,

连CE，因为

在△BCE中，可得CE=a,

在△ADE中，可得DE=a,

在△CDE中，因为CD²=CE²+DE²，所以CE⊥DE,

在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.

由平面A′DE⊥平面BCD,

可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.

取A′E的中点N，连线NM、NF，

所以NF⊥DE,NF⊥A′M.

因为DE交A′M于M,

所以NF⊥平面A′DE,

则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.

在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,

则cos=.

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为

【解析】略