Question

4．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x=$\frac{1}{4}$y²的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若AB为椭圆C的一条不垂直于x轴的弦，且过点（1，0）．过A作关于x轴的对称点A’，证明直线A′B过x轴的定点．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线方程x=$\frac{1}{4}$y²可设椭圆C的标准方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，进而利用焦点在x轴上、离心率为$\frac{1}{2}$计算即得结论；
（2）通过设过点（1，0）的直线AB的方程为x=my+1，联立直线与椭圆方程可知交点坐标分别为（1，0）、（$\frac{4-3{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$），进而讨论即得结论．

解答 解：（1）∵抛物线x=$\frac{1}{4}$y²，
∴其焦点为（1，0），
∴可设椭圆C的标准方程为：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又∵焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1-{b}^{2}}{1}$=$\frac{1}{4}$，即b²=$\frac{3}{4}$，
∴椭圆C的标准方程为：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}=1$；
（2）依题意，设过点（1，0）的直线AB的方程为：x=my+1，
联立直线与椭圆方程，消去x整理得：
（4+3m²）y²+6my=0，
解得：y=0或y=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，
①记A（1，0）、B（$\frac{4-3{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$），
则A′（1，0），显然直线A′B即直线AB，
∴直线A′B过x轴的定点（1，0）；
②记A（$\frac{4-3{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$）、B（1，0），
则直线A′B过x轴的定点B（1，0）；
综上所述，直线A′B过x轴的定点（1，0）．

点评 本题考查是一道关于直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．