Question

（2013•天河区三模）已知函数f(x)=

1+lg(x-1)，x＞1 g(x)，x＜1

的图象关于点P对称，且函数y=f（x+1）-1为奇函数，则下列结论：
（1）点P的坐标为（1，1）；
（2）当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0恒成立；
（3）关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根．
其中正确结论的题号为（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（1）（3）

D．（1）（2）（3）

Answer 1

分析：由函数y=f（x+1）-1为奇函数，结合奇函数的定义列式，可证出y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故（1）正确；求出函数g（x）在x∈（-∞，0）时的表达式，根据对数函数的单调性得到g（x）＜1恒成立，故（2）不正确；由以上的讨论，得到函数y=f（x）的表达式，再结合对数函数的图象与性质对f（x）的进行讨论，可得（3）也是正确的．由此不难得到正确选项．

解答：解：∵函数y=f（x+1）-1为奇函数，
∴f（-x+1）-1=-[f（x+1）-1]，即f（1+x）+f（1-x）=2，
可得y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故（1）正确；
∵f（1+x）+f（1-x）=2，得f（x）=2-f（2-x）
∴当x＜1时，f（x）=g（x）=2-[1+lg（1-x）]=1-lg（1-x）
因此当x∈（-∞，0）时，lg（1-x）＞lg1=0，可得g（x）＜1
所以g（x）＞0不能恒成立，故（2）不正确；
由以上的分析可得：f(x)=

1+lg(x-1)，x＞1 1-lg(1-x)，x＜1

结合对数函数图象与性质可得：函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，在（-∞，1）上为增函数，
函数y=f（x）的图象以x=1为渐近线，且在渐近线的两侧y的取值都是（-∞，+∞）
关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根，故（3）正确．
综上所述，正确的选项是（1）、（3）
故选C

点评：本题给出一个与对数函数有关的特殊函数，叫我们讨论它的单调性与图象的对称性．着重考查了对数函数图象与性质和函数奇偶性的应用等知识，属于中档题．