Question

（本小题满分13分）

        某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A，B，C），B地在A地正东方向上，两地相距6km； C地在B地北偏东方向上，两地相距4km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。

   （I）求A、C两上救援中心的距离；

   （II）求P相对A的方向角；

   （III）试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点（如图2，返回仓经Q点垂直落至P点）处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

       则

         即A、C两个救援中心的距离为.………3分

（2），所以P在BC线段的垂直平分线上.

又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：

∴∠PAB＝120°所以P点在A点的北偏西30°方向上. ………9分

（3）如图，设

又∵

即从P点的正上方Q点处A、B收到信号的时间差比从P点处A、B收到信号的时间差变小. ………13分