Question

注：此题选A题考生做①②小题，选B题考生做①③小题．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时有f（x）=

4x

x+4

．
①求f（x）的解析式；
②（选A题考生做）求f（x）的值域；
③（选B题考生做）若f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析：①根据函数的奇偶性的对称性，先求出函数的解析式，
②然后利用分式函数的性质即可求出函数的值域，
③根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化，然后解不等式即可．

解答：解：①∵当x≥0时有f(x)=

4x

x+4

，
∴当x≤0时，-x≥0，
∴f(-x)=

-4x

-x+4

=

4x

x-4

=-f(x)，
∴f(x)=-

4x

x-4

（x≤0）
∴

f(x)= 4x x+4 (x≥0) 4x 4-x (x≤0)

．
②∵当x≥0时有f(x)=

4x

x+4

=4-

16

x+4

，
∴0≤f（x）＜4，
又∵f（x）是奇函数，
∴当x≤0时-4＜f（x）≤0
∴f（x）∈（-4，4）．
③∵当x≥0时有f(x)=

4x

x+4

=4-

16

x+4

，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）是在（-∞，+∞）上是增函数，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，
∴f（2m+1）＞-f（m²-2m-4）=f[-（m²-2m-4）]，
∴2m+1＞-（m²-2m-4），
即m²＞3，
∴m＜-

3

或m＞

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件求出函数的表达式，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．