Question

已知数列{2^n-1•a_n}的前n项和S_n=9-6n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n（3-log₂

|an|

3

），设数列{

1

bn

}的前n项和为T_n，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*均有T_n＞

m

27

成立．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用2^n-1•a_n=S_n-S_n-1，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{

1

bn

}的通项，利用裂项法求和，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，n≥2时，2^n-1•a_n=S_n-S_n-1=（9-6n）-（15-6n）=-6
∴a_n=-6•2^1-n；
n=1时，a₁=3，∴a_n=

3，n=1 -6•21-n，n≥2

；
（2）b_n=n（3-log₂

|an|

3

）=n（n+1）
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∵对任意n∈N^*均有T_n＞

m

27

成立
∴

1

2

＞

m

27

∴m＜

27

2

∴m的最大整数为13．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．