Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．
（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程，可以很容易写出抛物线方程．
（2）（ⅰ）先设出A，B两点坐标和过点F在直线l方程，代入抛物线方程，消y，求x₁+x₂，x₁x₂，再利用导数找两条切线斜率关系，看是否斜率乘积等-1，问题得证．
（ⅱ）先设在y轴上存在定点Q，坐标为（0，t），使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF，则AQ，BQ倾斜角互补，斜率互为相反数，所以k_AQ+k_BQ=0，再用A，B，Q点坐标表示AQ，BQ斜率，利用（ⅰ）中x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，可求出含
t的方程，即可证出结论．

解答：解：（1）依题意有

(y-1)2+x2

=|y+2|-1，由显然y＞-2，得

(y-1)2+x2

=|y+1|，化简得x²=4y；
（2）（ⅰ）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+1 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是kAM=

1

2

x1，kBM=

1

2

x2，
∴kAM•kBM=

1

2

x1×

1

2

x2=

1

4

x1x2=-1即AM⊥BM
（ⅱ）设点Q（0，t），此时kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，
由（ⅰ）可知故kAQ+kBQ=

x12 4 -t

x1

+

x22 4 -t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-1，即Q（0，-1）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP

点评：本题考查了抛物线方程的求法，利用导数求抛物线斜率，以及定植问题，做题时应认真分析，找到切入点．