Question

11．已知过点P（-1，1）且斜率为k的直线l与抛物线y²=x有且只有一个交点，则k的值等于0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 易知符合条件的直线存在斜率，设直线方程为：y-1=k（x+1），与抛物线方程联立消掉y得x的方程，按照x²的系数为0，不为0两种情况进行讨论，其中不为0时令△=0可求．

解答 解：当直线不存在斜率时，不符合题意；
当直线存在斜率时，设直线方程为：y-1=k（x+1），
代入抛物线y²=x，可得k²x²+（2k-1+2k²）x+k²+2k+1=0，
当k=0时，方程为：-x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；
当k≠0时，令△=（2k-1+2k²）²-4k²（k²+2k+1）=0，解得k=$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
综上，k的值等于0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
故答案为：0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．