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    在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA=
    		33
    ，若
    AB
    •
    AE
    +
    AC
    •
    AF
    =2    ，则
    EF
    与
    BC
    的夹角的余弦值等于
    2
    3
    2
    3
    ．
    分析：由
    BC
    2    =36求得 
    AC
    •
    AB
    =-1，再由
    AB
    •
    AE
    +
    AC
    •
    AF
    =2     求得
    EF
    •
    BC
    =4．再由两个向量的数量积的定义求得
    EF
    与
    BC
    的夹角的余弦值．
    解答：解：由题意可得
    BC
    2    =(
    AC
    -
    AB
    )    2    =
    AC
    2    +
    AB
    2    -2
    AC
    •
    AB
    =33+1-2
    AC
    •
    AB
    =36，∴
    AC
    •
    AB
    =-1．
    由
    AB
    •
    AE
    +
    AC
    •
    AF
    =2     可得
    AB
    •(
    AB
    +
    BE
    )    +
    AC
    •(
    AB
    +
    BF
    )    =
    AB
    2    +
    AB
    •
    BE
    +
    AC
    •
    AB
    +
    AC
    •
    BF
    =1-
    AB
    •
    BF
    +（-1）+
    AC
    •
    BF
    =
    BF
    •（
    AC
    -
    AB
    ）=
    1
    2
    EF
    •
    BC
    =2，
    故有
    EF
    •
    BC
    =4．
    再由
    EF
    •
    BC
    =1×6×cos＜
    EF
     ， 
    BC
    ＞，可得 6×cos＜
    EF
     ， 
    BC
    ＞=4，∴cos＜
    EF
     ， 
    BC
    ＞=
    2
    3
    ，
    故答案为
    2
    3
    ．
    点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题．
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    AB
    •
    AE
    +
    AC
    •
    AF
    =2，则
    EF
    与
    BC
    的夹角等于
    π
    3
    π
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=2，CA=CB=3，若
    AB
    •
    AE
    +
    AC
    •
    AF
    =7    ，则
    EF
    与
    BC
    的夹角的余弦值等于
    1
    3
    1
    3
    ．

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    ，则与的夹角的余弦值等于              ；

     

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    ，则与的夹角等于        ．

     

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