Question

不等式2x²-axy+y²≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．a≤2

  2

• B．a≥2

  2

• C．a≥

  11

  3

• D．a≥

  9

  2

Answer 1

分析：将不等式等价变化为a≥

2x2+y2

xy

=

2x

y

+

y

x

，则求出函数

2x

y

+

y

x

的最大值即可．

解答：解：不等式2x²-axy+y²≤0等价为a≥

2x2+y2

xy

=

2x

y

+

y

x

，设t=

y

x

，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴

1

2

≤

1

x

≤1，即

1

2

≤

y

x

≤3，
∴

1

2

≤t≤3，
则

2x

y

+

y

x

=t+

2

t

，
∵t+

2

t

≥2

t• 2 t

=2

2

，
当且仅当t=

2

t

，即t=

2

时取等号．但此时基本不等式不成立．
又y=t+

2

t

在[

1

2

，

2

]上单调递减，在[

2

，3]上单调递增，
∵当t=

1

2

时，t+

2

t

=

1

2

+4=

9

2

，
当t=3时，t+

2

t

=3+

2

3

=

11

3

＜

9

2

．
∴

2x

y

+

y

x

的最大值为

9

2

．
∴a≥

9

2

．
故选：D．

点评：本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+

a

x

，a＞0图象的单调性以及应用．