Question

4．若a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，则（$\frac{x}{a}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁴的展开式中常数项为$\frac{23}{2}$．

Answer 1

分析 求定积分可得a值，由二项式的知识可得．

解答 解：求定积分可得a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
∴（$\frac{x}{a}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁴=（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁴，
故展开式中的常数项为${C}_{4}^{2}$•（$\frac{x}{2}$）²•（$\frac{1}{x}$）²+${C}_{4}^{2}$•$\frac{x}{2}$•$\frac{1}{x}$（$\sqrt{2}$）²+${C}_{4}^{4}$（$\sqrt{2}$）⁴=$\frac{3}{2}$+6+4=$\frac{23}{2}$
故答案为：$\frac{23}{2}$

点评 本题考查定积分的求解，涉及二项展开式，属基础题．