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如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且sinθ=,点P到平面α的距离PH=0.4(km)。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用,从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元。已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=(km),
(Ⅰ)在AB上求一点D,使沿折线PDAD修建公路的总造价最小;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小;
(Ⅲ)在AB上是否存在两个不同的点D′、E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(Ⅱ)中得到的最小总造价,证明你的结论。

解:(I)如图,PH⊥α,HB,PB⊥AB,
由三垂线定理逆定理知,AB⊥HB,
所以∠PBH是山坡面与α所成二面角的平面角,
则∠PBH=
设BD=x(km),0≤x≤1.5,

记总造价为万元,
据题设有


(km)时总造价最小。
(Ⅱ)设AE=y(km),0≤y≤,总造价为万元,
根据题设有



,得y=1,
当y∈(0,1)时,
在(0,1)内是减函数;
内是增函数;
故当y=1,即AE=1(km)时总造价最小,
且最小总造价为万元。
(Ⅲ)不存在这样的点D′、E′。
事实上,在AB上任取不同的两点D′、E′。
为使总造价最小,E′显然不能位于D′与B之间,
故可设E′位于D′与A之间,
,0≤x1+y1
总造价为S万元,

类似于(I)、(II)的讨论知,
当且仅当同时成立时,
上述两个不等式等号同时成立,
此时(km),AE′=1(km),S取得最小值
点D′、E′分别与点D、E重合;
所以不存在这样的点D′、E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价。
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下列命题中错误的是(  )
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