Question

某种商品在最近40天内没见的销售价格P元与时间t天的函数关系式是：该商品的销售量Q件与t天的函数关系式是：Q=-t+40，（0＜t≤40，t∈N⁺）求最近40天内这种商品的销售金额的最大值，并指出取得该最大值是第几天？

Answer 1

解：当0＜t＜30，t∈N₊时，y=（t+30）（-t+40）=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225．
∴t=5时，y_max=1225
当30≤t≤40，t∈N₊时，y=（-t+120）（-t+40）=t²-160t+4800=（t-80）²-1200，
而y=（t-80）²-1200，在t∈[30，40]时，函数递减．
∴t=30时，y_max=900
∵1225＞900
∴最近40天内，第5天达到最大值，最大值为1225元．
分析：应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论日销售金额y关于时间t的函数关系，再根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值，最终取较大者分析即可获得问题解答．
点评：本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数求最值的方法以及问题转化的能力．