已知正项数列中,其前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,求证:;
(3)设为实数,对任意满足成等差数列的三个不等正整数 ,不等式都成立,求实数的取值范围.
(1);(2)证明过程详见解析;(3).
解析试题分析:本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、恒成立问题、基本不等式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问,法一,利用转化已知表达式中的,证明数列为等差数列,通过,再求;法二,利用转化,证明数列为等差数列,直接得到的通项公式;第二问,结合第一问的结论,利用错位相减法证明不等式的右侧,而,利用放缩法,得,从而证明了不等式的左边,即得证;第三问,利用等差中项的概念得到m,n,k的关系,先将不等式都成立转化为,则关键是求出的最小值,利用基本不等式求函数最值.
(1)法一:由得
当时,,且,故 1分
当时,,故,得,
∵正项数列,
∴
∴是首项为,公差为的等差数列. 4分
∴ ,
∴ . 5分
法二:
当时,,且,故 1分
由得,
当时,
∴ ,整理得
∵正项数列,,
∴ , 4分
∴是以为首项,为公差的等差数列,
∴ . 5分
(2)
∴
∴
∴两式相减得
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在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
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已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,且a3+1为a1+1和a7+1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m[+],若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
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在无穷数列中,,对于任意,都有,. 设, 记使得成立的的最大值为.
(1)设数列为1,3,5,7,,写出,,的值;
(2)若为等比数列,且,求的值;
(3)若为等差数列,求出所有可能的数列.
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将数列按如图所示的规律排成一个三角形数表,并同时满足以下两个条件:①各行的第一
个数构成公差为的等差数列;②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序都构成公比为的等比数列.若,,.
(1)求的值;
(2)求第行各数的和.
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已知是各项为不同的正数的等差数列,成等差数列,又.
(1)证明:为等比数列;
(2)如果数列前3项的和为,求数列的首项和公差;
(3)在(2)小题的前题下,令为数列的前项和,求.
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