Question

已知函数
（1）当时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：．

Answer 1

（1）解：当时，（x＞-1）
令f′（x）＜0，可得，∴f（x）的单调递减区间为…（4分）
（2）解：由得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，则
当x＞0时 g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减
又g（0）=2•[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（8分）
（3）证明：由（Ⅱ）知 （x＞0）
∴
取得，即
∴…（12分）
分析：（1）求导数，利用导数小于0，即可求f（x）的单调递减区间；
（2）由得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，确定函数的最值，即可求a的取值范围；
（3）先证明，取，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．