Question

已知双曲线C：

x2

3

-y²=1，若直线y=kx+m（k，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N在以点A（0，-1）为圆心的圆上，则实数m的取值范围是

（-

1

4

，0）∪（4，+∞）

．

Answer 1

分析：将直线方程与双曲线方程联立，消去y得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点，可得

3k2-1≠0 △＞0

从而有

k2≠ 1 3 m2+1＞3k2

，再利用M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，建立关于m的不等关系，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：如图所示，由

y=kx+m x2 3 -y2=1

⇒（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），线段MN的中点为B（x₀，y₀），则有

3k2-1≠0 △＞0

⇒

k2≠ 1 3 m2+1＞3k2

 ①
由中点坐标公式及韦达定理得x0=-

3km

3k2-1

，y0=kx0+m=-

m

3k2-1

因为M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，
即kAB=

y0+1

x0-0

=

-m+3k2-1

-3km

=-

1

k

，
∴3k²=4m+1    ②
由①②得

4m+1＞0 m2+1＞4m+1 4m+1≠1

∴m＞4或-

1

4

＜m＜0．
故答案为：（-

1

4

，0）∪（4，+∞）．

点评：本题以双曲线的几何性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．