Question

如图，F₁、F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F₁（-1，0），且

AF1

=2

AF2

．
（I）求椭圆的方程；
（II）过F₁、F₂作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，若直线MN的倾斜角为

π

4

，求四边形PMQN的面积．

Answer 1

分析：（I）由题意，|

F1F2

| =2c=2，c=1，故A（a²，0），由

AF1

=2

AF2

，知F₂为AF₁的中点，由此能求出椭圆方程．
（II）由直线MN的倾斜角为

π

4

，知直线MN的斜率k=1，故直线MN的方程为y=x-1，把y=x-1代入椭圆方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，由此能求出四边形PMQN的面积．

解答：解：（I）由题意，|

F1F2

| =2c=2，c=1，∴A（a²，0），
∵

AF1

=2

AF2

，∴F₂为AF₁的中点，
∴a²=3，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（II）由于直线MN的倾斜角为

π

4

，∴直线MN的斜率k=1，
直线MN的方程为y=x-1，
把y=x-1代入椭圆方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

，
所以|MN|=

1+k2

|x1 -x2|=

2

•

(x1+x2 ) 2-4x1x2

=

8 3

5

．
同理|PQ|=

8 3

5

，
∴四边形PMQN的面积S=

1

2

|MN|•|PQ|=

96

25

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和求四边形的面积，具体涉及到椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．