Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）求二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

．

Answer 1

分析：解法一（几何法）（1）连AC，设AC∩BD=O，连接OC，OC₁，可得∠COC₁即为二面角C₁-DB-C的平面角，解Rt△COC₁，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值．
（2）设AP与面BDD₁B₁交于点G，连OG，可得∠AGO即为AP与面BDD₁B₁所成的角，解Rt△AOG，即可得到一个关于m的方程，解方程即可得到满足条件的m的值．
解法二（向量法）（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C₁DB和平面DBC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）分别求出直线AP的方向向量与平面BDD₁B₁的法向量，根据根据直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

，构造一个关于m的方程，解方程即可得到满足条件的m的值．

解答： 解法一（几何法）：
解：（1）如图，连AC，设AC∩BD=O，连接OC，OC₁，
则AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面CC₁O，
∴BD⊥CC₁，
故∠COC₁即为二面角C₁-DB-C的平面角
在Rt△COC₁中，CC₁=1，CO=

2

2

则tan∠COC₁=

CC1

OC

=

2

故二面角C₁-DB-C的正切值为

2

（2）设AP与面BDD₁B₁交于点G，连OG，
因为PC∥面BDD₁B₁，而BDD₁B₁∩面APC=OG，
故OG∥PC，
所以OG=

1

2

PC=

m

2

．
又AO⊥DB，AO⊥BB₁，
所以AO⊥面BDD₁B₁，
故∠AGO即为AP与面BDD₁B₁所成的角
在Rt△AOG中，tan∠AGO=

2 2

m 2

=3

2

即m=

1

3

．?
故当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

．?
解法二（向量法）
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）?
则

CC1

=（0，0，1）为平面DBC一个法向量，
设

m

=（x，y，z）为平面C₁DB的一个法向量，则

m • BD =0 m • BC1 =0

即

x+y=0 -x+z=0

则

m

=（1，-1，1）
设二面角C₁-DB-C的平面角为θ
则cosθ=

m • CC1

| m |•| CC1 |

=

3

3

则sinθ=

6

3

，tanθ=

2

即二面角C₁-DB-C的正切值为

2

（2）∵

BD

=（-1，1，0），

BB1

=（0，0，1），?

AP

=（-1，1，m），

AC

=-1，1，0），?
又由

AC

•

BD

=0，

AC

•

BB1

=0知，

AC

为平面BB₁D₁D的一个法向量．?
设AP与平面BB₁D₁D所成的角为θ，?
则sinθ=cos（

π

2

-θ）=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2 +m2

依题意有

2

2 • 2 +m2

=

3 2

1+(3 2 )2

，?
解得m=

1

3

，??
故当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的解，其中解法一的关键是找到线面夹角和二面角的平面角，将空间线面夹角问题和二面角问题转化为解三角形问题；而解法二的关键是建立空间坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将空间线面夹角问题和二面角问题转化为向量夹角问题．