Question

19．已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂=a+2（a为常数），且S_n是na_n与na的等差中项．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想出a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）利用（1）的结论，猜想a_n的表达式，再用数学归纳法证明．

解答 解：（1）由已知得${S_n}=\frac{{n{a_n}+na}}{2}=\frac{{{a_n}+a}}{2}•n$，
当n=1时，${a_1}={S_1}=\frac{{{a_1}+a}}{2}$，则a₁=a，${S_3}={a_1}+{a_2}+{a_3}=\frac{{{a_3}+a}}{2}•3$，而a₂=a+2，
于是可解得a₃=a+4；同理可解得a₄=a+6．
（2）由（1）中的a₁=a，a₂=a+2，a₃=a+4，a₄=a+6，…，
猜测出a_n=a+2（n-1）．
数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁=a=a+2（1-1），猜想成立；
当n=2时，a₂=a+2=a+2（2-1），猜想也成立．
②假设当n=k（k∈N^*，k≥2）时猜想成立，即a_k=a+2（k-1），
则当n=k+1时，${a_{k+1}}={S_{k+1}}-{S_k}=\frac{{{a_{k+1}}+a}}{2}•（k+1）-$$\frac{{{a_k}+a}}{2}•k$，
即（k-1）a_k+1=ka_k-a，
由k≥2可得${a_{k+1}}=\frac{{k{a_k}-a}}{k-1}=\frac{ka+2k（k-1）-a}{k-1}$，
即a_k+1=a+2k=a+2[（k+1）-1]，
也就是说，当n=k+1时猜想也成立．
由①、②可知对任意的n∈N^*，a_n=a+2（n-1）都成立．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．