Question

已知抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦点重合，抛物线C₁的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₁分别相交于A、B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）若|AB|=4

10

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦点重合，知抛物线C₁的焦点坐标为F（1，0），再由抛物线C₁的顶点在坐标原点，能求出抛物线C₁的方程．
（2）设直线AB的方程为：y=k（x-4）（k≠0）．联立

y=k(x-4) y2=4x

，得 ky²-4y-16k=0，故△=16+64k²＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16，利用弦长公式能求出直线l的方程．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）∵抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦点重合，
∴抛物线C₁的焦点坐标为F（1，0），
∵抛物线C₁的顶点在坐标原点，
∴抛物线C₁的方程为：y²=4x．…（6分）
（2）若直线AB的斜率不存在时，|AB|=8，不合题意，故直线AB的斜率存在．
由题意可设直线AB的方程为：y=k（x-4）（k≠0）．
联立

y=k(x-4) y2=4x

，消去x，得 ky²-4y-16k=0，

∴△=16+64k²＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16，
∴|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|
=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

( 4 k )2+64

由|AB|=4

10

，得k²=1，
∴k=±1，
∴直线l的方程为：x-y-4=0或x+y-4=0．…（14分）

点评：本题考查抛物线方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系等基本问题的合理运用．