Question

平面直角坐标系xOy内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上一动点．
(1)当·取得最小值时，求坐标；
(2)当点Q满足(1)中条件时，求cos∠AQB的值．

Answer 1

(1)当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．(2)－.

试题分析：(1)设＝(x，y)，∴点Q在直线上，
∴向量与共线，又＝(2,1)，
∴x－2y＝0，即x＝2y，∴＝(2y，y)，
又＝－＝(1－2y,7－y)，＝(5－2y,1－y)
∴·＝(1－2y)·(5－2y)＋(7－y)·(1－y)＝5y²－20y＋12＝5(y－2)²－8，
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(－3,5)，＝(1，－1)，·＝－8，||＝，＝.
∴cos∠AQB＝＝－.
点评：中档题，本题综合考查平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的坐标计算，二次函数的图象和性质，对学生的计算能力有较高要求。向量的夹角公式。平面向量模的计算，往往“化模为方”，转化成向量的运算。