Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。

（1）求证：DE//平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积。

Answer 1

解：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形， 取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC， ∵平面ACD⊥平面ABC， ∴DO⊥平面ABC，作EF平面ABC， 那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上， ∴易求得， 所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF， 平面ABC，平面ABC， ∴DE∥平面ABC。 （2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG， ∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC， ∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角， ∴FG=BF·sin∠FBG=，， ∴， ∴， 即二面角E-BC-A的余弦值为。
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，  ∴OB⊥平面ACD， 又， ∴DE⊥平面DAC， ∴三棱锥E-DAC的体积， 又三棱锥E-ABC的体积， ∴多面体DE-ABC的体积为V=V1-V2=。