Question

5．己知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}|x-5|（x≠5）}\\{3，（x=5）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五个不等实根 x₁，x₂，…，x₅，若f（x₁），f（x₂），（x₃），f（x₄），f（x₅）中最大值与最小值之和为T，则f（T）的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． log₃2
• D． log₃4

Answer 1

分析 由函数的解析式可得，函数f（x）的图象关于直线x=5对称，利用换元法求出方程的两个根，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-5|，（x≠5）}\\{3\;，（x=5）}\end{array}\right.$，故有f（5）=3．
根据当x＞5时，f（x）=log₅（x-5），当x＜5时，f（x）=log₅（5-x），
作出函数f（x）的图象，可得函数f（x）的图象关于直线x=5对称．
f（x）=3时，方程f（x）=3有3个根，当f（x）=t，（t≠3）时，方程有2个不同的根，
∵关于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，
∴设t=f（x），则等价为t²+bt-3=0有两个不同的根t=3，或t≠3，
则此时3²+3b-3=0得b=-2，
即t²-2t-3=0得t=3或t=-1，
则若f（x₁），f（x₂），（x₃），f（x₄），f（x₅）中最大值为3，最小值为-1，
则最大值与最小值之和为T=3-1=2，
则f（T）=f（2）=log₃|2-5|=log₃3=1，
故选：A

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，关键是根据条件求出b=-2，并求出方程的根是解决本题的关键．