Question

选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）把所给的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程．
（2）设Q（8cosθ，3sinθ），由中点公式求得M的坐标，根据点M到直线C₃ 的距离为 d=

|4cosθ-2-(4+3sinθ)-7|

1+4

=

|5sin(θ+∅)-13|

5

，可得当sin（θ+∅）=1时，d取得最小值．

解答：解：（1）对于曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得 （x+4）²+（y-3）²=1；
对于曲线 C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得

x2

64

+

y2

9

=1．
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，则点P的坐标为（-4，4），
设Q（8cosθ，3sinθ）为C₂上的动点，则PQ中点M（ 4cosθ-2，

4+3sinθ

2

）．
 直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数），即 x-2y-7=0．
∴点M到直线C₃：x-2y-7=0 的距离为 d=

|4cosθ-2-(4+3sinθ)-7|

1+4

=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

=

|5sin(θ+∅)-13|

5

，其中，sin∅=

4

5

，cos∅=-

3

5

．
故当sin（θ+∅）=1时，d取得最小值为

|5-13|

5

=

8 5

5

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，中点公式、点到直线的距离公式的应用，辅助角公式、正弦函数的最值，属于中档题．