Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，且满足a₁=1，（a₃-6）³+2015（a₃-6）=3，（a₅-14）³+2015（a₅-14）=-3，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，则数列{a${\;}_{{b}_{n}}$}的前10项和为88552．

Answer 1

分析 可令f（x）=x³+2015x，通过导数判断单调性，即可得到f（x）为奇函数，且为R上的增函数，即有f（a₅-14）=-f（a₃-6）=f（6-a₃），即有a₃+a₅=20，运用等差数列的通项公式，可得d=3，求得a_n=3n-2，运用数列的通项和求和之间的关系，可得b_n=S_n-S_n-1=3^n-1，再由分组求和和等比数列的求和公式，可得所求值．

解答 解：可令f（x）=x³+2015x，
由f′（x）=3x²+2015＞0恒成立，
则f（x）为奇函数，且为R上的增函数，
由题意可得，f（a₃-6）=3，f（a₅-14）=-3，
即为f（a₅-14）=-f（a₃-6）=f（6-a₃），
即有a₃+a₅=20，又a₁=1，
则2+6d=20（d为公差），解得d=3，
即有a_n=1+3（n-1）=3n-2，
数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
当n=1时，b₁=S₁=1，
n＞1时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$-$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$=3^n-1，
上式对n=1也成立．
数列{a${\;}_{{b}_{n}}$}的通项为${a}_{{b}_{n}}$=${a}_{{3}^{n-1}}$=3•3^n-1-2=3ⁿ-2．
则前10项和为（3-2）+（3²-2）+（3³-2）+…+（3¹⁰-2）
=（3+3²+…+3¹⁰）-20
=$\frac{3（1-{3}^{10}）}{1-3}$-20=88552．
故答案为：88552．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．