Question

函数f(x)是定义域为实数集的单调奇函数，且f(1)＝－2．

(1)求证：f(x)是递减函数；

(2)解关于x的不等式f(m·2^x)＋f(2^x－4^x－1)＞0，其中m是常数．

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(1)＝－2，f(－1)＝－f(1)＝2，所以f(x)不是增函数． 　　又因为f(x)是单调函数，所以f(x)是递减函数． 　　(2)f(m·2x)＞－f(2x－4x－1)＝f(－2x＋4x＋1) 　　因为f(x)是递减函数，所以m·2x＜－2x＋4x＋1，即4x－(m＋1)2x＋1＞0 　　①若－3＜m＜1，即Δ＝(m＋1)2－4＝m2＋2m－3＜0时，2x∈R，不等式的解为x∈R． 　　②若m＝－3，则(2x＋1)2＞0，x∈R，若m＝1，则(2x－1)2＞0，2x≠1，即x≠0． 　　③若m＜－3或m＞1时，设t1＝(m＋1－)，t2＝(m＋1＋)，2x＜t1或2x＞t2，当m＜－3时，t1＋t2＝m＋1＜0，t1·t2＝1＞0． 　　所以t1＜0，t2＜0，不等式的解为x∈R． 　　当m＞1时，t1＋t2＞0，t1·t2＞0，所以t1＞0，t2＞0，所以x＜log2t1或x＞log2t2． 　　由①②③可知，当m＜1时，不等式解为x∈R，当m≥1时，不等式解为： x＜log2(m＋1－)或x＞log2(m＋1＋)