Question

在一次数学竞赛中，共出甲、乙、丙三题，在所有25个参加的学生中，每个学生至少解出一题；在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1；只解出1题的学生中，有一半没有解出甲题.问共有多少学生只解出乙题？

Answer 1

分析：设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别是A，B，C，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合其人数分别以a,b,c,d,e,f,g表示

解析：由于每个学生至少解出一题，故

a+b+c+d+e+f+g=25      ①

由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出

丙题的人数的2倍，故b+f=2(c+f )            ②

由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学

生的人数多1，故a=d+e+f+1             ③

由于只解出1题的学生中，有一半没有解出甲题，

故a=b+c                 ④

由②得：b=2c+f,  f=2cb   ⑤

以⑤代入①消去f得：a+2bc+d+e+f=25     ⑥

以③、④代入⑥得：2bc+2d+2e+2g=24      ⑦       3b+d+e+g=25    ⑧

以2⑧⑦得：    4b+c=26    ⑨

∵c≥0，∴4b≤26，b≤6.

利用⑤、⑨消去c，得f=b2(264b)=9b52 ，

∵f≥0，∴9b≥52，  b≥.∵，∴b=6.

即解出乙题的学生有6人.