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已知关于x的方程sinx+cosx=a
(1)若方程有实数解,求实数a的取值范围
(2)若方程x∈[0,π]时有两个相异的实数解,求实数a的范围及两实数解的和.
分析:(1)利用两角和与差公式可得a=
2
sin(x+
π
4
),进而由正弦函数的特点求出
2
sin(x+
π
4
)的值域即可知a的取值范围;
(2)利用两角和与差公式可得a=
2
sin(x+
π
4
),进而把问题转化成y1=a y2=sin(x+
π
4
),x∈[0,π]有两个交点问题,将图象画出即可得出答案.
解答:解:(1)∵sinx+cosx=a
∴a=
2
sin(x+
π
4
),
∴-
2
≤a≤
2

(2))∵sinx+cosx=a
∴a=
2
sin(x+
π
4
),
设y1=a y2=sin(x+
π
4
),
由题意可知y1=a y2=sin(x+
π
4
),x∈[0,π]有两个交点
如图示知a∈[1,
2
]
设两相异实根为x1,x2,由图示⇒x1+x2=2×
π
4
=
π
2

点评:本题考查三角函数的值域以及两角和与差公式,(2)问将图画出是解题的关键.
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[-
2
2
]
[-
2
2
]

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(-2,-
2
)∪(
2
,2)
(-2,-
2
)∪(
2
,2)

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