已知曲线C1:ρ=1.曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$(1)求C1与C2交点的坐标,(2)若把C1.C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半.分别得到曲线C1′与C2′.写出C1′与C2′的参数方程.C1与C2公� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知曲线C₁：ρ=1，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）求C₁与C₂交点的坐标；
（2）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′与C₂′，写出C₁′与C₂′的参数方程，C₁与C₂公共点的个数和C₁′与C₂′公共点的个数是否相同，说明你的理由．

分析（1）分别求出C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程，联立方程组能求出C₁与C₂交点的坐标．
（2）压缩后的参数方程分别为${{C}_{1}}^{'}$：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\frac{1}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）${{C}_{2}}^{'}$：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程，联立消元，由其判别式得到压缩后的直线${{C}_{2}}^{'}$与椭圆${{C}_{1}}^{'}$仍然只有一个公共点，和C₁与C₂公共点个数相同．

解答解：（1）∵曲线C₁：ρ=1，∴C₁的直角坐标方程为x²+y²=1，
∴C₁是以原点为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），∴C₂的普通方程为x-y+$\sqrt{2}$=0，是直线，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴C₂与C₁只有一个公共点：（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（2）压缩后的参数方程分别为
${{C}_{1}}^{'}$：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\frac{1}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）${{C}_{2}}^{'}$：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数），
化为普通方程为：${{C}_{1}}^{'}$：x²+4y²=1，${{C}_{2}}^{'}$：y=$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
联立消元得$2{x}^{2}+2\sqrt{2}x+1=0$，
其判别式$△=（2\sqrt{2}）^{2}-4×2×1=0$，
∴压缩后的直线${{C}_{2}}^{'}$与椭圆${{C}_{1}}^{'}$仍然只有一个公共点，和C₁与C₂公共点个数相同．

点评本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．

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