Question

20．己知函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（1）?x∈R，函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）有最大值1，求函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的单调区间；
（2）?x∈R，都有f（x）≥|x|成立，求4a-b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$，可得t∈（2，3]，且t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$在（-∞，0]上为增函数，在[0，+∞）上为减函数，结合二次函数的图象和性质及复合函数同增异减的原则，可得函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的单调区间；
（2）?x∈R，都有f（x）≥|x|成立，可得当x≤0时，b≤-1，或$\left\{\begin{array}{l}b＞-1\\ 4a-{（b+1）}^{2}≥0\end{array}\right.$；当x＞0时，b≥1，或$\left\{\begin{array}{l}b＜1\\ 4a-{（b-1）}^{2}≥0\end{array}\right.$，进而得到4a-b²的最小值．

解答 解：（1）令t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
则t∈（2，3]，且t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$在（-∞，0]上为增函数，在[0，+∞）上为减函数；
由函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），可得f（0）=1，
若?x∈R，函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）有最大值1，则f（3）=1，
则函数f（x）在（2，3]上为增函数，
故函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的单调递增区间为（-∞，0]，单调递减区间为[0，+∞）；
（2）当x≤0时，f（x）≥|x|可化为：ax²+（b+1）x+1≥0，则$-\frac{b+1}{2}≥0$，或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b+1}{2}＜0\\ \frac{4a-{（b+1）}^{2}}{4a}≥0\end{array}\right.$，即b≤-1，或$\left\{\begin{array}{l}b＞-1\\ 4a-{（b+1）}^{2}≥0\end{array}\right.$，
当x＞0时，f（x）≥|x|可化为：ax²+（b-1）x+1≥0，则$-\frac{b-1}{2}≤0$，或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b-1}{2}＞0\\ \frac{4a-{（b-1）}^{2}}{4a}≥0\end{array}\right.$，即b≥1，或$\left\{\begin{array}{l}b＜1\\ 4a-{（b-1）}^{2}≥0\end{array}\right.$，
则b≤-1时，4a-（b-1）²≥0，即4a-b²≥1-2b≥3；
-1＜b＜1时，4a-（b-1）²≥0且4a-（b+1）²≥0，即4a-b²≥1-2b≥3且4a-b²≥1+2b≥3；
b≥1时，4a-（b+1）²≥0，即4a-b²≥1+2b≥3；
综上可得4a-b²的最小值为3．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．