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已知定义域为R上的函数f(x)满足,对任意的x,y,恒有f(x-y)=
f(x)f(y)
且当x>0时,0<f(x)<1

(1)求证f(0)=1,且当x<0时有f(x)>1.
(2)判断f(x)在R上的单调性并证明.
(3)若对任意的x∈R,不等式f(ax2)•f(1-ax)>f(2)恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)在恒等式中,令x=y=0,即可得到f(0)的值,利用恒等式找到f(x)与f(-x)之间的关系,利用x>0时,0<f(x)<1,即可得到当x<0时有f(x)>1;
(2)利用恒等式将不等式f(ax2)•f(1-ax)>f(2)转化为f(ax2-ax+1)>f(2),再利用函数的单调性,可以得到ax2-ax+1<2对x∈R恒成立,利用函数的性质,列出不等关系,求解即可得到实数a的取值范围.
解答:证明:(1)∵已知定义域为R上的函数f(x)满足,对任意的想x,y,恒有f(x-y)=
f(x)
f(y)

∴令x=y=0,可得f(0)=
f(0)
f(0)
=1
,即f(0)=1,
再令x=0,可得f(-y)=
f(0)
f(y)
=
1
f(y)

f(y)=
1
f(-y)
,即f(x)=
1
f(-x)

∴当x<0时,-x>0,
∵x>0时,0<f(x)<1,
∴0<f(-x)<1,
∴f(x)=
1
f(-x)
>1,
故f(0)=1,且当x<0时有f(x)>1;
(2)f(x)在R上递减,
证明如下:设x1<x2,则x2-x1>0,
f(x-y)=
f(x)
f(y)
,且当x>0时,0<f(x)<1,
f(x2)
f(x1)
=f(x2-x1)<1,又f(x1)>0

∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上递减;
(3)∵f(x-y)=
f(x)
f(y)

f(x+y)=f[x-(-y)]=
f(x)
f(-y)
=f(x)f(y)

∴f(ax2)•f(1-ax)=f(ax2-ax+1)>f(2)对x∈R恒成立,
由(2)可知,f(x)在R上单调递减,
∴ax2-ax+1<2对x∈R恒成立,即ax2-ax-1<0对x∈R恒成立,
①当a=0时,-1<0恒成立,符合题意;
②当a≠0时,则有
a<0
△=a2+4a<0

∴-4<a<0.
综合①②,所求实数a的取值范围为(-4,0].
点评:本题考查了抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数的恒成立问题.证明函数的单调性要抓住函数单调性的定义,函数的恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合进行求解.属于中档题.
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24、已知下表为定义域为R的函数f(x)=ax3+cx+d若干自变量取值及其对应函数值,为便于研究,相关函数值非整数值时,取值精确到0.01.
x 3.27 1.57 -0.61 -0.59 0.26 0.42 -0.35 -0.56 0 4.25
y -101.63 -10.04 0.07 0.03 0.21 0.20 -0.22 -0.03 0 -226.05
根据表中数据解答下列问题:
(1)函数y=f(x)在区间[0.55,0.6]上是否存在零点,写出判断并说明理由;
(2)证明:函数y=f(x)在区间(-∞,-0.35]单调递减.

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根据表中数据解答下列问题:
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x3.271.57-0.61-0.590.260.42-0.35-0.564.25
y-101.63-10.040.070.030.210.20-0.22-0.03-226.05
根据表中数据解答下列问题:
(1)函数y=f(x)在区间[0.55,0.6]上是否存在零点,写出判断并说明理由;
(2)证明:函数y=f(x)在区间(-∞,-0.35]单调递减.

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