Question

讨论f(x)=

ax

1+x2

（a≠0，a为常数）在区间（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析：根据基本不等式，可得

1

x

+x≥2在（0，+∞）恒成立，得到当且仅当x=1时t=

1

1 x +x

在（0，+∞）上有最大值等于

1

2

．而f（x）=a•

1

1 x +x

，由函数单调性的运算法则讨论a的正数，可得函数在区间（0，1）上的单调性．

解答：解：由于x∈（0，1），可得f(x)=

ax

1+x2

=

a

1 x +x

∵

1

x

+x≥2

1 x •x

=2，∴当且仅当

1

x

=x，即x=1时

1

x

+x有最小值2
由此可得t=

1

1 x +x

在x=1时有最大值

1

2

函数t=

1

1 x +x

在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数
∴当a＞0时，函数f（x）=

a

1 x +x

在区间（0，1）上是增函数；
当a＜0时，函数f（x）=

a

1 x +x

在区间（0，1）上是减函数
即当a＞0时，f(x)=

ax

1+x2

在区间（0，1）上为增函数，当a＜0时，f(x)=

ax

1+x2

在区间（0，1）上为增函数．

点评：本题给出含有字母参数的分式函数，讨论函数的单调性．着重考查了运用基本不等式求最值、函数的单调性的讨论与证明等知识，属于中档题．