Question

若｛a_n｝是公差d≠0的等差数列，通项为a_n，｛b_n｝是公比q≠1的等比数列.已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃.

（1）求d和q；

（2）是否存在常数a，b使对于一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在，则求出来；若不存在，请说明理由.

Answer 1

思路解析：第（1）题可以通过已知条件，用基本量求解；第（2）题是个探索存在型

问题，可以先设要证的结论存在，然后找结论存在的条件，最后根据推理过程中，有无矛盾发生，再得出结论.

解：（1）∵a₂=a₁+d=1+d，b₂=b₁q=q，而a₂=b₂，

∴1+d=q.                                                                     ①

又a₆=a₁+5d=1+5d，b₃=b₁q²=q²，

∴1+5d=q² .                                                                 ②

由①②可以解得q=4，d=3.

（2）假设存在常数a、b满足等式，把

a_n=a₁+（n-1）d=3n-2，b_n=b₁q^n-1=4^n-1，

代入a_n=log_ab_n+b，得3n-2=log_a4^n-1+b，

即（3-log_a4）n+（log_a4-b-2）=0.                                 ③

∵n∈N^*，若③式对一切n∈N^*都成立，

则

解得a=，b=1.

深化升华

本题是个探索型问题，探索实数a、b的存在性.

    解答此类问题，一般先假设要求（或要证）的结论是存在的，然后利用条件和有关概念、公理、定理、法则进行推理.如果能够正确推理，则结论存在；反之，若出现矛盾，则结论不存在.