Question

已知函数．
（I）当的单调性；
（II）证明：．

Answer 1

解：（I）因为 ，
所以 =x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
由f′（x）=0，
即a×2-x+1=0，解得x₁=1，x₂=．
①当a=时，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此时f（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当＜a＜1时，
x∈（0，）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（，1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，此时f（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a=1时，
x∈（0，1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，∞）时，g（x）＞0此时函数f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
④当a＞1时，x∈（0，1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，∞）时，g（x）＞0此时函数f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（II）由（I）知，当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）＜f（1）=ln1--1=-1，
即lnx-x-1＜-1，
即lnx，即，
令x=2，3，…，n．得
，
，，
，
…
．
将上述各式相加得．
分析：（I）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II）由（I）知，当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；则函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；lnx-x-1＜-1，进行变形可得，令x=2，3，…，n．不所得的各式相加即可证明结论．
点评：此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．