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    已知A (-sin
    x
    2
    ，  sin
    x
    2
     )    ，B ( sin
    x
    2
    ，  -2 cos
    x
    2
     )    ，C ( cos
    x
    2
    ，  0 )    三点．
    （1）求向量
    AC
    和向量
    BC
    的坐标；
    （2）设f（x）=
    AC
    •
    BC
    ，求f（x）的最小正周期；
    （3）求f（x）的单调递减区间．
    分析：（1）由已知点的坐标，由向量的坐标的定义可得；（2）可得f(x)=
    AC
    •
    BC
    =(cos
    x
    2
    +sin
    x
    2
    )•(cos
    x
    2
    -sin
    x
    2
    )+(-sin
    x
    2
    )•2cos
    x
    2
    ，由三角函数的运算法则化简可得周期；（3）由2kπ≤x+
    π
    4
    ≤π+2kπ    ，k∈Z，解不等式可得单调递减区间．
    解答：解：（1）∵A (-sin
    x
    2
    ，  sin
    x
    2
     )    ，B ( sin
    x
    2
    ，  -2 cos
    x
    2
     )    ，C ( cos
    x
    2
    ，  0 )    ，
    ∴
    AC
    =(cos
    x
    2
    +sin
    x
    2
    ，-sin
    x
    2
    )    ，
    BC
    =(cos
    x
    2
    -sin
    x
    2
    ，2cos
    x
    2
    )    ，
    （2）由（1）知：f(x)=
    AC
    •
    BC

    =(cos
    x
    2
    +sin
    x
    2
    )•(cos
    x
    2
    -sin
    x
    2
    )+(-sin
    x
    2
    )•2cos
    x
    2

    =cos2
    x
    2
    -sin2
    x
    2
    -2sin
    x
    2
    cos
    x
    2
    =cosx-sinx
    =
    		2
    (cosx•
    		2
    2
    -sinx•
    		2
    2
    )    =
    		2
    cos(x+
    π
    4
    )    ，
    ∴f（x）的最小正周期T=2π
    （3）由2kπ≤x+
    π
    4
    ≤π+2kπ    ，k∈Z，可得
    -
    π
    4
    +2kπ≤x≤
    3π
    4
    +2kπ    ，k∈Z．
    ∴f（x）的单调递减区间是[-
    π
    4
    +2kπ，
    3π
    4
    +2kπ]    （k∈Z）
    点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的周期性和单调性，属中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(sinx，1)    ，
    b
    =(2cosx，2+cos2x)    ，函数f（x）=
    a
    •
    b

    （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
    （Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(sinx，cosx)    ，
    b
    =(
    		3
    cosx，cosx)    ，设函数f（x）=
    a
    •
    b
    （x∈R）
    （1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
    （2）当x∈[-
    π
    6
    ，
    5π
    12
    ]    时，求f（x）的值域．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(sinx，-cosx)，
    b
    =(cosx，
    		3
    cosx)    ，函数f(x)=
    a
    •
    b
    +
    		3
    2
    ．
    （1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
    （2）当0≤x≤
    π
    2
    时，求函数f（x）的值域．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•芜湖二模）已知
    a
    =(sinx，1)    ，
    b
    =(cosx，-
    1
    2
    )    ，函数f(x)=
    a
    •(
    a
    -
    b
    )    ，那么下列四个命题中正确命题的序号是
    ②③④
    ②③④
    ．
    ①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．
    ②当x=
    π
    8
    时，f（x）有最小值2-
    		2
    2
    ．
    ③[-
    7
    8
    π，-
    3
    8
    π]是函数f（x）的一个单调递增区间；
    ④点（-
    π
    8
    ，2）是函数f（x）的一个对称中心．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(sinx，cosx)，
    b
    =(
    		3
    cosx，cosx)    ，设函数f(x)=
    a
    •
    b
    （x∈R）
    （1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
    （2）当x∈[-
    π
    6
    ，
    5π
    12
    ]    时，求f（x）的最值并指出此时相应的x的值．

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