Question

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
（Ⅰ）求cos∠CBE的值；（Ⅱ）求AE．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根据△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°，可得∠CBE=15°，故cos∠CBE=
cos15°=cos（45°-30°），运算求得结果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABE=45°-15°=30°，故∠BEC=75°，可得∠AEB=105°，△ABE中，由正弦定理求出
AE的值．

解答：解：（Ⅰ） 由题意可得等边三角形ACD的边长为

2

，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°．
又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE=15°，
∴cos∠CBE=cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

6 + 2

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABE=45°-15°=30°，故∠BEC=75°．
∴∠AEB=105°，△ABE中，由正弦定理可得

AE

sin30°

=

AB

sin105°

，
且sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=

6 + 2

4

，
∴

AE

1 2

=

2

6 + 2 4

，∴AE=（

6

-

2

）．

点评：本题考查三角形内角和公式、半角公式、正弦定理的应用，求出∠CBE=15°，∠AEB=105°，是解题的关键，属于
中档题．