Question

5．已知偶函数f（x）满足，f（x+1）=-f（x）且当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．

Answer 1

分析 根据f（x+1）=-f（x），可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，可得函数在[-1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log_a（x+2）有4个交点，即可得实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期为2的周期函数．
再由f（x）是偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，
可得当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
故当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，
当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．
由于函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4个零点，
故函数y=f（x）的图象与y=log_a（x+2）有4个交点，
所以可得1≥log_a（3+2），
∴实数a的取值范围是[5，+∞）．
故答案为：[5，+∞）．

点评 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．