Question

8．己知函数f（x）=-2a•4^x+2^x-1．
（1）a=1时，求f（x）在[-3，0]的值域；
（2）方程f（x）=0有负根，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=-2•4^x+2^x-1=-2（2^x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{7}{8}$，从而求值域；
（2）由-2a•4^x+2^x-1=0知a=-$\frac{1}{2}$（2^-x）²+$\frac{1}{2}$•2^-x=-$\frac{1}{2}$（2^-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，从而确定a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，
f（x）=-2•4^x+2^x-1=-2（2^x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{7}{8}$，
∵x∈[-3，0]，∴2^x∈[$\frac{1}{8}$，1]，
∴-2≤f（x）≤-$\frac{7}{8}$；
故f（x）在[-3，0]的值域为[-2，-$\frac{7}{8}$]；
（2）∵-2a•4^x+2^x-1=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$（2^-x）²+$\frac{1}{2}$•2^-x=-$\frac{1}{2}$（2^-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
∵2^-x＞1，∴-$\frac{1}{2}$（2^-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$＜0；
故a的范围为（-∞，0）．

点评 本题考查了函数的值域的求法及复合函数的应用．