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已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-bx+1,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数列(a,b).
(1)若P={x|1≤x≤3,x∈Z},Q={x|-1≤x≤4,x∈Z},列举出所有的数对(a,b),并求函数y=f(x)有零点的概率;
(2)若P={x|1≤x≤3,x∈R},Q={x|-1≤x≤4,x∈R},求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
(1)∵函数y=f(x)有零点,则△=b2-4a≥0即4a≤b2
如图,4a≤b2包含6个点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),∴事件4a≤b2包含基本事件的个数是6个,而P={x|1≤x≤3,x∈Z},Q={x|-1≤x≤4,x∈Z},包含3×6个点,
∴所求事件的概率为
6
3×6
=
1
3

(2)函数f(x)=ax2-bx+1的图象的对称轴为x=
b
2a

当且仅当b≤2a且a>0时,
函数f(x)=ax2-bx+1在区是间[1,+∞)上为增函数,
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为;
P={x|1≤a≤3,x∈R},Q={x|-1≤b≤4,x∈R},
构成所求事件的区域为长方形部分.
而{(a,b)|1≤a≤3,-1≤b≤4,b≤2a且a>0}包含的区域为图中的阴影部分.
∴所求事件的概率为P=
S阴影
S长方形
=
2×5-
1
2
×1×2
2×5
=
9
10

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