Question

随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平
行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量

MN

与

AC

，

BD

共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

Answer 1

分析：（1）设D在α上的射影为H，过D作DK⊥AC于K，可得AHDK为矩形，计算DH，即可求得BD与α所成的角是30°．
（2）由共面向量的判定定理得到量

MN

与

AC

，

BD

共面，即可得到结论；
（3）由

MN

=

1

2

(

AC

+

BD

)，求模长，即可得到结论．

解答：解：（1）设D在α上的射影为H

∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥∥DH，∴AC，DH共面，
∴过D作DK⊥AC于K，
∴AHDK为矩形，
设DH=h，则（AC-h）²+AH²=CD²，①
由三垂线定理易知BH⊥AB
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②
将②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，
于是sin∠DBH=

1

2

，
∴∠DBH=30°，即BD与α所成的角是30°．
（2）由向量加法的三角形法则

MN

=

MA

+

AC

+

CN

，

MN

=

MB

+

BD

+

DN

，
两式相加即得

MN

=

1

2

(

AC

+

BD

)．
∴由共面向量的判定定理得到量

MN

与

AC

，

BD

共面．
从而一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行
（3）∵

MN

=

1

2

(

AC

+

BD

)
∴|

MN

|2=

1

4

|

AC

|2+

1

4

BD

2+

1

2

AC

•

BD

=288（1+sinθ）（单位长度）
∵θ∈（0，

π

2

），
∴

MN

∈(14

2

，28)，即MN准备28（单位长度）就一定够用．

点评：本题考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．