Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ） 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，cos（φ+

π

4

）=0，其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的性质求出ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用三角函数的图象关系，结合三角函数的奇偶性即可得到结论．

解答： 解：（1）∵cos（φ+

π

4

）=0，
∴φ+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=kπ+

π

4

（k∈Z），
又∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

．
∵相邻两条对称轴间的距离为

π

3

，
∴

T

2

=

π

3

，∴T=

2π

3

，∴ω=

2π

T

=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）．
（2）f（x）的图象向左平移m个单位后得g（x）=sin[3（x+m）+

π

4

]=sin（3x+3m+

π

4

）．
若g（x）是偶函数，当且仅当3m+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即m=

kπ

3

+

π

12

（k∈Z），
从而，最小正实数m=

π

12

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及函数图象的平移变换，求出函数的解析式是解决本题的关键．