Question

已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=

1

2

．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F₂的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使

PA

•

PB

的值是常数．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义判断出圆锥曲线C是椭圆，得到椭圆中的参数c的值，再根据离心率的公式求出参数a，利用三个参数的关系求出b，写出椭圆的方程．
（2）假设存在点p，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到交点的坐标满足的关系，利用交点坐标表示出

PA

•

PB

，要使其为常数，令分子、分母的对应项的系数成比例，求出p的坐标，当直线的斜率不存在时将p的坐标代入检验即可．

解答：解：（1）依题意，设曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴c=1，
∵e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

，
所求方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，
得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
从而xA+xB=

8k2

3+4k2

，xA•xB=

4(k2-3)

3+4k2

，
设P（t，0），则

PA

•

PB

=(xA-t)(xB-t)+yAyB=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=

3t2-12+(-5-8t+4t2)k2

3+4k2

当

3t2-12

3

=

-5-8t+4t2

4

，
解得t=

11

8

此时对?k∈R，

PA

•

PB

=-

135

64

；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，
x_A=x_B=1，yA(yB)=±

3

2

，
对t=

11

8

，

PA

•

PB

=(xA-t)(xB-t)+yAyB=

9

64

-

9

4

=-

135

64

，
即存在x轴上的点P(

11

8

，0)，使

PA

•

PB

的值为常数-

135

64

．

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法，注意椭圆中三个参数a，b，c的关系满足a²=b²+c²；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立得到二次方程，利用韦达定理找突破口．