Question

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y=x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的范围．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=（x²+1）（x+a）
∴f′（x）=3x²+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x²+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（-，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，-）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（-，+∞）上为增函数
在区间（-1，-）上为减函数…（4分）
故在区间[-，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=-，f（x）取极小值，
又∵f（-）=，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[-，1]上的最大值为6，最小值为；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x²+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y=x+m的切线
∴f′（x）=，即3x²+2ax+1=无实数解 …（8分）
即△=（2a）²-4×3×＜0 …（10分）
∴-＜a＜ …（12分）
分析：（I）由已知中函数f（x）=（x²+1）（x+a），可得f′（x）=3x²+2ax+1，结合f′（-1）=0，求出a值，进而分析出函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f′（x）=3x²+2ax+1，函数f（x）图象没有y=x+m的切线，故f′（x）=，即3x²+2ax+1=无实数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，导数的几何意义，其中（I）的关键是，求出函数在闭区间上的极值和端点处的函数值，然后进行比较，（II）的关键是根据f′（x）=无实数解，即△＜0，构造关于a的不等式．