Question

已知点F（1，0）和直线l：x=-1，动点P到直线l的距离等于到点F的距离．
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）过点（2，0）作直线交P的轨迹C于点A，B，交l于点M，若点M的纵坐标为-3，求|AB|

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义，可得点P的轨迹C的方程；
（2）求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可求得结论．

解答：解：（1）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，
所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，
所以方程为y²=4x；
（2）由题意，M（-1，-3），
∵直线过点（2，0），∴直线AB的方程为

y+3

0+3

=

x+1

2+1

，即y=x-2
与抛物线方程联立，可得x²-8x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，x₁x₂=4
∴|AB|=

1+1

•

82-4×4

=4

6

．

点评：本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系．考查学生的计算能力，属于中档题．